Étape 1 : construction d'une diagonale du pentagone

Observer la figure suivante qui montre une première étape de construction.
Le point \(\text{P}\) est une intersection entre le cercle \(\mathcal{C}\) et la médiatrice de \(\text{[AA}^\prime]\).
\(\text{I}\) est le milieu de \(\text{[AO}^\prime]\). On a tracé le cercle de centre \(\text I\) et de rayon \(\text{[IP]}\) qui coupe \(\text{[O}^\prime\text{A}^\prime]\) en un point que l'on appelle \(\text C\).
Reproduire la construction puis répondre aux questions.

On rappelle que \(\text{AO}^\prime=1\).
1. Démontrer que \(\text{IP}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
2. Démontrer que \(\text{AC}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\). Ce nombre est connu sous le nom de nombre d'or.
\(\text{[AC]}\) est donc un segment dont la longueur est le nombre d'or.
On peut démontrer la propriété suivante.

Propriété 

\(\text{[AC]}\) est une diagonale du pentagone régulier de côté \(1\) lorsque sa longueur est égale au nombre d'or. \(\text{A}\) et \(\text{C}\) sont donc deux sommets du pentagone régulier.